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在机器学习和统计分析领域，基于特征的样本分类是一个核心任务。本文将深入探讨一种基于马氏距离（Mahalanobis Distance）的判别分类方法，这种方法常用于处理多变量数据，尤其适用于处理具有相关性特征的情况。马氏距离不仅考虑了样本点之间的欧氏距离，还考虑了数据的协方差结构，因此可以更准确地度量不同群体之间的差异。

马氏距离是一种衡量两个随机变量集合之间“距离”的统计量，它定义为两个样本点在经过协方差矩阵逆运算后的欧氏距离。对于向量x和y，其马氏距离计算公式为：

\[ D_M(x, y) = \sqrt{(x – y)^T S^{-1} (x – y)} \]

其中S是样本集的协方差矩阵，S^-1是协方差矩阵的逆，而^T表示转置操作。当所有总体的协方差矩阵相等时，马氏距离可以公平地比较不同群体的差异，因为它消除了群体内部的变异性和群体间的尺度差异。

在描述的案例中，我们有三个不同的群体：健康人群G1（10人）、硬化症患者G2（6人）和冠心病患者G3（4人），每个群体都有5个心电图指标值。通过收集这些数据，我们可以计算每个群体的平均值和协方差矩阵。假设这三个群体的协方差矩阵相同，这意味着我们可以在不考虑群体内变异性的基础上，直接比较个体间的马氏距离。

在分类过程中，我们首先计算新样本与每个群体的平均值之间的马氏距离，然后将其分配到最近的群体。这个过程可以通过优化问题来表示，寻找使得马氏距离最小的群体，即：

\[ \arg\min_{c \in \{G1, G2, G3\}} D_M(\text{new sample}, \bar{X}_c) \]

其中，\(\bar{X}_c\)代表群体c的平均值向量。

在提供的代码文件中，例如”example5_2.m”可能是实现上述分类算法的MATLAB代码，它可能包含了数据读取、预处理、计算马氏距离以及执行分类的函数。”back_substitution_method2.m”可能是一个用于求解线性系统的函数，例如在计算协方差矩阵逆时可能会用到。”example5_2.txt”可能是包含实验数据的心电图指标值文件。

基于马氏距离的判别分类方法是一种有效的多变量分类技术，特别是在数据存在相关性的情况下。通过对群体间的马氏距离进行比较，我们可以对未知样本进行准确的分类，从而在医学诊断、市场划分等领域得到广泛应用。

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